| Ementa: |
O curso de métodos estocásticos em economia e finanças 3 é o último da sequência de três matérias consecutivas que abarcam três áreas da matemática: a Teoria da Medida e Integração a Teoria da Probabilidade fundada na teoria da medida o Cálculo Estocástico. Os dois primeiros cursos formam uma única disciplina dividida em dois semestres. Nelas cobrimos o livro de Patrick Billingsley, Probability and Measure, em que a Teoria da Medida e a Teoria da Probabilidade são apresentadas de forma entrelaçada. Portanto, o aluno que decidir cursar o 1º curso deve ter em mente cursar também o 2º.Já o 3º curso (métodos estocásticos em economia e finanças 3) pode ser cursado separadamente, desde que o aluno domine teoria da medida e a teoria da probabilidade axiomática à la Kolmogorov. Caso não domine, recomenda-se cursar os dois primeiros. O livro adotado no 3º curso é o de Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications.O pré-requisito matemático é um conhecimento mediano de Análise Real. Em sala, o professor apresentará todos os resultados e abrirá todas as demonstrações. Cada curso terá uma prova do tipo take-home. Depois dos três cursos, o aluno estará apto para enveredar pela área de finanças matemáticas, séries temporais, macrodinâmica ou outras áreas da matemática aplicada e da econometria avançada.A disciplina requer 90 horas de aula, ou seja, 6 créditos. Como não existem disciplinas optativas de 6 créditos, o aluno deverá matricular-se nas seguintes disciplinas:ECO 304328 Métodos Estocásticos em Economia e Finanças 3 (4 créditos = 60 horas)ECO 333051 Métodos Estatísticos e Econométricos em Economia 1 (2 créditos = 30 horas)Assim fazendo, totalizará as 90 horas de aula requeridas.Ementa1. Martingales: Tempos de parada, esperança condicional, martingales, teorema da transformada martingale, teorema do tempo de parada, submartingales e supermartingales, teorema da decomposição de Doob, desigualdades de Doob, teoremas de convergência martingale, desigualdade do upcrossing, integrabilidade uniforme, martingales em tempo contínuo.2. Movimento browniano e wavelets: definição de movimento browniano (BM), caracterização de processos gaussianos, o espaço de Hilbert L²[0,1], representação wavelet do BM, leis de escalagem e inversão, continuidade dos caminhos amostrais, não-diferenciabilidade dos caminhos amostrais, BM como um martingale.3. Integração de Itô: aproximação em H², isometria de Itô, definição de integral de Itô, propriedade martingale da integral de Itô, exemplos, teorema da persistência da identidade, localização por tempos de parada, a integral de Itô em ????????2, martingales locais, teorema da representação riemanniana, a fórmula de Itô, processos de covariação quadrática.4. Equações diferenciais estocásticas: método do matching de coeficientes, processos de Ornstein-Uhlenbeck, teoremas de existência e unicidade de soluções fortes, processos de difusão, a equação de difusão e métodos de solução, princípio do máximo parabólico, modelo de Black-Scholes.5. Teoremas de representação: teorema de representação da integral estocástica, teorema da representação martingale, representação via mudança de tempo, caracterização de Lévy de um BM.6. Teoria de Girsanov: BM com drift, teorema de Girsanov, variação quadrática, exponenciais martingales e condição de Novikov.7. Fórmulas de Feynman-Kac: teorema de Feyman-Kac, fórmula de Feynman-Kac e BM's, lei do arco-seno de Lévy, aplicação do método de Feynman-Kac à EDP de Black-Scholes.Livro-textoSteele, J. Michael (2001): Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer-Verlag, New York, 2ª edição. |
